X
تبلیغات
ریاضیات - چگونه می توانیم از یک دایره مربع بسازیم
چگونه می توانیم از یک دایره مربع بسازیم

 

چگونه می توانیم از یک دایره مربع بسازیم:

زمانی که ماهیت یک شکل هندسی در برابر ریاضیات رنگ می بازد

 

معلوم نیست که تفکر راجع به این سوال به ظاهر ساده عاقبت ما رو به کجا خواهد رساند.

این سوال ، یعنی: تبدیل یک دایره به مربع را ،در نظر بگیرید  حالا دایره ای را با یک تکه کاغذ بسازید و سپس شروع کنید به تقسیم آن ، به تکه هایی که بتوان با آنها یک مربع ساخت بطوری که مساحت این مربع با دایره اولیه برابر شود.

این کار به نظر غیر ممکن میاید:« آخه چطور میشه از دست  منحنی ها خلاص شد؟»

این جاست که ریاضیات وارد عمل میشود .در سال 1989 یک ریاضیدان مجار ستانی به نام میکلاس لاکزکویچ (Miklós Laczkovich ) این شاهکار پیچیده ذهنی را انجام داد و ثابت کرد که این کار از لحاظ نظری ممکن است و  میشود یک دایره را به تعدادی متناهی تکه تقسیم کرد بطوری که آرایش مجددی به  صورت دایره پیدا کند.

 

مسئله مورد بحث ما که توسط میکلاس لاکزکویچ حل شده یک معمای تاریخی شناخته شده برای ریاضیدانان مشهوری چون ارشمیدس ، اقلیدس و سایر دانشمندان یونانی بوده.

 

بحث ما بر سر این است که: «آیا می توان فقط با خط کش و پرگار یک مربع رسم کرد که مساحتی برابر با یک دایره داده شده ، داشته باشد»

 

این مسئله با وجود تلاش های ریاضیدانان متعددی ، چه آماتور و چه حرفه ای، سال ها بدون جواب ماند. اقبال عمومی راجع به این سوال بسیار بود و شمار پیشنهادات برای حل آن که از استدلال های غلط منتج میشد بالا گرفت تا جایی که آکادمی پاریس لازم دید تا قانونی را تصویب کند که به موجب آن هیچ راه حلی که سعی در مربع سازی دایره داشته باشد نباید مورد بررسی قرار بگیرد !

 

در پایان ، راه حل این مسئله منوط به خواص عدد پی ∏ شد .« یک دایره و یک مربع زمانی مساحت برابر دارند که  نسبت ضلع مربع به شعاع دایره با ریشه دوم عدد پی ∏ برابر باشد.»

 

در سال 1882 فردیناند وون لایندرمن( Ferdinand von Lindemann )،1939-1852 ،ثابت کرد  عدد پی ماهیتی است که به عنوان یک عدد متعالی شناخته می شود و این مطلب به طور موثری از احتمال ایجاد یک مربع از دایره با استفاده از خط کش و پرگار می کاهد . زیرا روشی برای تقسیم یک خط با نسبت مورد نیاز ما ، که وابسته به عدد پی است ، تنها با استفاده از خط کش و پر گار وجود ندارد زیرا ساختار تمام خط کش ها و پرگار ها از لحاظ هندسی معادل با اعداد جبری است و عدد پی به عنوان یک عدد متعالی نمی تواند از این برابری بدست آید.

 

لاکزکویچ نسخه ای از این سوال را بر عهده گرفت که توسط آلفرد تارسکی( Alfred Tarski )،1902-1985، در سال 1925 بیان شد تارسکی محدودیت استفاده از خط کش و پرگار را از این مسئله برداشت و سوال را این گونه مطرح کرد آیا هیچ راهی وجود دارد تا دایره را به تکه هایی تقسیم کرد که این تکه ها آرایش مجددی به صورت یک مربع هم مساحت با دایره اولیه داشته باشند.

 

 

یک سال قبل از طرح این سوال توسط تارسکی ، وی به همراه استفان باناچ(Stefan Banach) حکمی مشابه و قابل توجه را بر پایه حدسی مشابه در سه بعد اثبات کرده بود.این حکم به صورتی متناقض نشان می دهد می توان یک کره را به تعدادی متناهی تکه تقسیم کرد طوری که نتنها آرایش مجددی به صورت یک مکعب هم حجم با کره را داشته باشد بلکه بتوان این تکه ها را به صورت یک مکعب با حجمی دو برابر با کره اولیه نیز تجدید آرایش کرد!در حقیقت به همین طریق می توان یک کره را به صورت هر شکل دیگر و با هر اندازه ای تبدیل کرد.

 

در بر خورد اول نتیجه باناچ-تارسکی یک تناقض به نظر می رسد.اما به واقع توضیح این تناقض در طبیعت قطعه های به کار برده شده برای تجدید آرایش قرار دارد.تکه های به کار برده شده در این حکم  توپر  و با مرز های خوب و مشخصی نیستند.این قطعه ها بسیار پراکنده ، در هم تنیده و در هم پیچیده شده هستند به طوری که از لحاظ ریاضیاتی محاسبه حجم هر یک غیر ممکن است و تنها زمانی که در کنار هم قرار داده می شوند به یک حجم قابل اندازه گیری تبدیل می شوند.

 

به طور شگفت انگیزی جای هیچ تناقضی را در این نتیجه گیری باقی نمی گذارد که می توان از طریق روش های متفاوت به نتایجی با حجم های مختلف رسید.

 

کار کردن با صورت دو بعدی این مسئله خیلی پیچیده تر از کار با صورت سه بعدی آن است.ریاضیدانانی که مسئله دایره تارسکی را مطالعه می کردند به شدت نسبت به یافتن راهی برای مربع سازی از یک دایره بدون از دست دادن حتی یک نقطه از دایره شک داشتند.خود باناچ ثابت کرد که هر گونه تجدید آرایش از یک شکل در صفحه می بایست مساحتی برابر با شکل اصلی داشته باشد.

 

در سال 1963،لستر دوبینز(Lester Dubins)،موریس هیریش(Morris Hirsch) و جک کاروش (Jack Karush) ثابت کردند که این مسئله با برش یک دایره به تکه های معمولی با مرز های خوش رفتار  و نسبتا صاف – یعنی تکه هایی که با استفاده از یک قیچی می توان ایجاد کرد-قابل حل نیست و این مسئله به تعداد این جور قطعه ها بستگی ندارد.

 

لاکزکویچ ثابت کرد که این مسئله قابل حل است به شرط آنکه قطعه های به کار برده شده شکل مشخصی داشته باشند.قطعاتی که او به  کار میبرد آرایشی از اشکال عجیب و عملا غیر قابل تصور را دربر دارند.اگرچه تعدادی از این قطعات به قطعات پازل های معمولی شباهت دارد ، بقیه تکه ها، تکه های منحنی دار،تکه های پیچ و تاب خورده یا مجموعه ای از تک نقطه های ایزوله هستند.

 

ساختن مربع از این قطعه ها فوق العاده ساده و با لغزاندن این قطعه ها امکان پذیر است.برای اینکه یک قطعه در جای خودش قرار بگیرد لازم به هیچ چرخشی نیست.مربع ایجاد شده هم هیچ گونه شکاف یا قطعه های رویه هم افتاده ای ندارد.

 

لاکزکویچ در ابتدا تخمین زد که تقربیا 1050 قطعه لازم است یعنی خیلی بیشتر از تعداد مولکول های آب تمام اقیانوس های جهان رویهم.

 

اثبات لاکزکویچ تنها در مورد دایره ها به کار نمیرود بلکه همچنین تقریبا در مورد هر شکل در صفحه با مرز هایی از لحاظ ریاضی خوش رفتار  قابل استفاده است.هر گونه شکلی با این مشخصات قابل تقسیم به تکه های است که آرایشی مجدد به صورت یک مربع را ،بدون شکاف و رویه هم افتاده گی، بوجود می آورند.

 

به عنوان مثال می شود یک مثلث یا یک بیضی را به چند تکه تقسیم و سپس تکه ها را به صورت مربع در کنار هم گذاشت بدون اینکه قطعه ای را دوران دهیم.

 

این راه حل برای مسئله مربع سازی از دایره نشان میدهد با مفاهیم به ظاهر ساده ی طول ،حجم ، نقطه ، خمیدگی و مساحت باید با ملاحظات لازم و ترس آمیخته با احترامی برخورد کرد.

 

مخصوصا حکم لاکزکویچ که زاییده ی سوالات اساسی ای است از آن چه که ریاضیدانان از مفهوم خمیدگی در ذهن دارند و از چگونگی تصمیم گیری آنها در اینکه چه موقع مساحت اشکال با هم برابر می شوند.

 

این اثبات نشان می دهد، ظاهرا  اندیشه های کنونی در مورد مساحت درست باشد.بریدن یک شکل به تکه هایی و آرایش مجدد این تکه ها به صورت شکل دیگر ، روشی معقول برای نشان دادن مساحت برابر برای شکل ها است.

 

با این وجود خم و خط راست خیلی متفاوت تر از آن هستند که بتوان تنها با استفاده از اعمال دستی عجیب و غریب یکی از آنها را به دیگری تبدیل کرد.

 

 

منبع:

http://www.maa.org/mathland/mathtrek_11_01_04.html

 

برای یادگیری نکات بیشتر راجع به مسئله مربع سازی از دایره تارسکی به اینجا رجوع کنید:

http://www.fact-index.com/t/ta/tarski_s_circle_squaring_problem.html

اطلاعاتی راجع به مسئله مربع سازی دایره از اینجا هم قابل دسترسی است:

http://mathworld.wolfram.com/CircleSquaring.html

 

+ نوشته شده توسط بهادری در یکشنبه ششم اردیبهشت 1388 و ساعت 12:36 |


Powered By
BLOGFA.COM